Formulae and Asymptotics for Coefficients of Algebraic Functions

We study the coefficients of algebraic functions ∑ n≥0 fnz n. First, we recall the too-little-known fact that these coefficients fn always admit a closed form. Then we study their asymptotics, known to be of the type fn ∼ CAnnα. When the function is a power series associated to a contextfree grammar, we solve a folklore conjecture: the critical exponents α cannot be 1/3 or −5/2; they in fact belong to a proper subset of the dyadic numbers. We initiate the study of the set of possible values for A. We extend what Philippe Flajolet called the Drmota–Lalley–Woods theorem (which states that α = −3/2 when the dependency graph associated to the algebraic system defining the function is strongly connected). We fully characterize the possible singular behaviors in the non-strongly connected case. As a corollary, the generating functions of certain lattice paths and planar maps are not determined by a context-free grammar (i.e., their generating functions are not N-algebraic). We give examples of Gaussian limit laws (beyond the case of the Drmota–Lalley–Woods theorem), and examples of non-Gaussian limit laws. We then extend our work to systems involving non-polynomial entire functions (non-strongly connected systems, fixed points of entire functions with positive coefficients). We give several closure properties for N-algebraic functions. We end by discussing a few extensions of our results (infinite systems of equations, algorithmic aspects). Résumé. Cet article a pour héros les coefficients des fonctions algébriques. Après avoir rappelé le fait trop peu connu que ces coefficients fn admettent toujours une forme close, nous étudions leur asymptotique fn ∼ CAnnα. Lorsque la fonction algébrique est la série génératrice d’une grammaire noncontextuelle, nous résolvons une vieille conjecture du folklore : les exposants critiques α ne peuvent pas être 1/3 ou −5/2 et sont en fait restreints à un sousensemble des nombres dyadiques. Nous amorçons aussi l’étude de l’ensemble des valeurs possibles pour A. Nous étendons ce que Philippe Flajolet appelait le théorème de Drmota–Lalley–Woods (qui affirme que α = −3/2 dès lors qu’un ”graphe de dépendance” associé au système algébrique est fortement connexe) : nous caractérisons complètement les exposants critiques dans le cas non fortement connexe. Un corolaire immédiat est que certaines marches et cartes planaires ne peuvent pas être engendrées par une grammaire noncontextuelle non ambigüe (i. e., leur série génératrice n’est pas N-algébrique). Nous donnons un critère pour l’obtention d’une loi limite gaussienne (cas non couvert par le théorème de Drmota–Lalley–Woods), et des exemples de lois non gaussiennes. Nous étendons nos résultats aux systèmes d’équations de degré infini (systèmes non fortement connexes impliquant des points fixes de fonctions entières à coefficients positifs). Nous donnons quelques propriétés de clôture pour les fonctions N-algébriques. Nous terminons par diverses extensions de nos résultats (systèmes infinis d’équations, aspects algorithmiques). FORMULAE AND ASYMPTOTICS FOR COEFFICIENTS OF ALGEBRAIC FUNCTIONS 3